ALevel数学三角函数考试真题答案解析

　　在考试中，其实微分涉及到的技巧相对比较简单，主要包括基本求导公式、和差积商的求导法则及chain rule等微分技巧；而积分除了基本的积分公式外，涉及到的积分技巧比较多，包括reverse chain rule,by substitution,trigonometric identities,partial fraction,integration by parts等。

　　首先，我们说“一次”的三角函数，包括sin x,cos x,tan x,cot x,sec x,cosec x.大家首先要知道这六个三角函数可以直接求积分的，即如下积分公式：

　　而且大家要知道tan x和cot x求积分时涉及到如下积分技巧：

　　例如：

　　同样cot x的积分大家可以用同样的方法自己推导一下。

　　下面我们说“二次”的三角函数，主要包括sin2 x,cos2 x,sinxcosx,tan2x,cot2x,sec2 x,cosec2 x,secxtanx,cosecxcotx。

　　前三个积分主要涉及到二倍角公式和reverse chain rule，如：

　　同样的方法可以得到：

　　而sinxcosx的积分用到sin2x的展开式，即：

　　接下来我们知道sec2 x,cosec2 x,secxtanx,cosecxcotx的积分是可以直接用积分公式的，即：

　　而tan2 x与sec2 x,cot2x与cosec2 x有重要的恒等关系式：tan2 x=sec2x-1；cot2x=cosec2 x-1，所以tan2 x与cot2 x的积分可以直接转化为sec2 x与cosec2 x进而求解。下面要说的三角函数积分也是“二次”的，但上面的技巧并不能解决这类问题，而要用到积化和差的技巧。

　　例如求sin3xcos2x的积分，我们知道sin(3x+2x)=sin3xcos2x+cos3xsin2x,sin(3x-2x)=sin3xcos2x-cos3xsin2x，两式相加右边即可得到2sin3xcos2x,而左边等于sin5x+sinx,这样sin3xcos2x的积分就转化为求1/2(sin5x+sinx)的积分，即“积化和差”，本质上是利用正弦或余弦的和差角展开公式。同样的方法大家可以试求下sin5xsin2x,cos3xcosx的积分。

　　最后要说的三角函数积分问题主要涉及到下面的两类积分技巧：

　　第一种类型我们刚才在求tan x和co tx积分时已经讲过，

　　第二种类型如：求cosxsin3x的积分，我们知道sin x求导是cos x,所以原积分等于1/4sin4x，如果不太理解可以反过来求导试试。

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